如何理解宇宙几何结构？《张朝阳的物理课》推导宇宙学度规II

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在静态条件下，我们可以通过以下坐标变换：

将度规变换为熟悉的形式

其中，A为常数，其导数为零。这正是求解史瓦西时空时所采用的度规形式，因此我们可以直接利用先前的史瓦西解推导过程，而无需重新计算里奇张量和里奇标量。通过爱因斯坦场方程，可以得到关于B的微分方程。

在爱因斯坦场方程的右侧，能动张量的形式与恒星内部解类似。我们曾在求解恒星内部结构时，假设物质满足理想流体模型，其中包含物质密度和压强。在恒星内部，球对称性极大地简化了问题，并最终导出了TOV方程。然而，在恒星内部模型中，函数A通常是径向坐标的函数，这使得直接求解A变得极其复杂，我们实际上并未直接求解过它。幸运的是，在宇宙学中，由于均匀性假设，A仅为一个常数，从而大大简化了问题。

在上一节课中，我们提到宇宙中的物质同样可以看作理想流体，因此我们可以直接借鉴求解恒星内部解的方法，用类似的方式求解B 。最终，通过坐标变换，我们可以回到原始坐标系，并得到静态条件下度规 (1) 中的径向曲率函数b(r) 。

恒星内部解中里奇张量回顾

在求解史瓦西度规和恒星内部解时，初始阶段的计算步骤是相同的：首先由度规计算里奇张量和里奇标量，区别仅在于物质的分布不同。史瓦西度规对应的是真空解，而恒星内部解描述的是球对称的理想流体。对于恒星内部解，我们通过爱因斯坦场方程

结合能量动量守恒条件

可以求解出 TOV 方程，并得到度规函数A(r)和B(r)所满足的微分方程。

我们先回顾恒星内部解的求解过程。首先，假设线元的形式为

其坐标表示为

对应的度规为

而其逆度规为

接下来，我们需要计算里奇张量的各个分量。但在此之前，我们先证明在上述度规 (3) 下，里奇张量的分量应具有对角形式，即：

理想流体的能动张量为

其中，四速度满足归一化条件

在恒星内部，流体处于静止状态，因此其空间分量为零，即

代入归一化条件（4），可得

于是，能动张量的表达式展开为

将能动张量代入场方程，可得里奇张量的 (2,0) 型分量

其中，里奇标量R为

这样我们就证明了里奇张量分量就是对角矩阵。

(张朝阳回顾讲解恒星内部解的求解过程)

根据恒星内部解（可参考《张朝阳的物理课》第 210 期和 211 期），里奇张量的(0,2)型分量具有对角矩阵形式，其非零分量为：

而里奇标量R为：

最终，里奇张量的 (2,0) 型分量为：

求解径向曲率函数b(r)

在求解宇宙学度规中的径向曲率函数b(r)时，我们希望避免重新计算繁琐的黎曼曲率张量、里奇张量和曲率标量，而是直接利用前面已推导出的结果。

为了借鉴恒星内部解的计算方法，我们需要假设宇宙学度规的尺度因子a(t)为常数。之所以需要这一假设，是因为恒星内部解描述的是静态时空，而宇宙学度规通常用于描述动态时空，二者在一般情况下无法直接联系。只有在a(t)不随时间变化的特殊情况下，宇宙学度规才会退化为静态形式，这样我们才能利用求解恒星内部解的方法求解径向曲率函数b(r)。

在尺度因子a(t)取常数的情况下，宇宙学度规的线元（1）可以写为：

为了便于与恒星内部解匹配，我们引入如下坐标变换：

其中A为常数，且其导数为零。将其微分形式写出

代入上述度规后，可得变换后的线元：

这正是求解恒星内部解时所采用的度规形式。因此，我们可以直接利用史瓦西解的已知结果来确定B，从而避免重新推导里奇张量和里奇标量。

由于我们已经获得了里奇张量的分量，并假设A为常数（即其导数为零），恒星内部解所满足的方程将极大简化，里奇张量和曲率标量变为

其中

（张朝阳求解静态宇宙学度规）

将这些结果代入到爱因斯坦场方程中

并从 11 分量出发，可得：

即有

同时，从 22 分量得到：

即

等式（11）减去等式（10），得到关于B的微分方程

化简得到全微分的形式

即

积分后得到

也就是

其中k1为积分常数。

（张朝阳求解径向曲率函数）

将结果（12）代回至（10）中，得到压强为

从爱因斯坦场方程的00分量可以得到密度的表达式为

由压强和密度的表达式，可得到物态方程

这样的物态方程与普通物质截然不同。当k1>0时，压强为负，表明静态宇宙无法稳定，一旦存在扰动，扰动将会被无限放大，时空将变得不稳定。而当k1<0时，能量密度为负，此时一般来说，对于物质是不稳定的，也可能导致时空不稳定。因此尺度因子不能简单地被假设为常数。

（张朝阳讲解物态方程）

将结果（12）代回到线元（5）中，得到

再通过坐标变换，回到旧坐标后，有

令

得到

这正是宇宙学 FLRW 度规的静态极限。在本次推导中，我们进一步考虑了理想流体物质，使得结果更加一般化。

由于静态宇宙是不稳定的，我们必须允许尺度因子a(t)依赖于时间，即推广至含时的 FLRW 度规：

在此推广过程中，根据k的表达式，它原则上依赖于a(t)，但从物理角度来看，宇宙在膨胀或收缩的过程中，其空间曲率不应随时间变化。因此，我们认为k是一个常数。这一结论在推广静态宇宙至动态 FLRW 形式时需要注意的。

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